Алексей (alexeiprofkuy)

Чтобы сделать меньше всего прыжков, Насте выгодно как можно чаще прыгать длинными прыжками по 13 метров. Если бы она сделала максимально возможное число таких прыжков (76 по 13 метров), получилось бы 988 метров, а оставшиеся 12 метров нельзя набрать шагами по 7.Заменим часть 13-метровых прыжков на 7-метровые. Каждый раз, когда мы убираем один прыжок на 13 метров, остаток расстояния увеличивается на 13. Нам нужно, чтобы этот остаток делился на 7. Так как 13 при делении на 7 даёт остаток 6 (или -1), нам нужно убрать ровно 5 длинных прыжков, чтобы компенсировать начальную разницу: 12 + 5 × 13 = 77 метров, что идеально делится на 7.В итоге получается: 71 прыжок по 13 метров (923 м) и 11 прыжков по 7 метров (77 м). Всего 71 + 11 = 80 прыжков.

Проверим функцию на чётность: f(-x) = π — |-x| = π — |x| = f(x)Функция является чётной на симметричном интервале (-π; π).Из этого следует: Все коэффициенты bₙ = 0 (ряд не содержит синусов).Ряд содержит только свободный член и косинусы: f(x) = a₀/2 + ∑ [aₙ · cos(n·x)] (сумма от n = 1 до ∞)Интегрирование проводится по половине интервала от 0 до π с удвоением результата. На отрезке [0; π] модуль раскрывается со знаком плюс: |x| = x, то есть f(x) = π — x.a₀ = (2/π) · ∫₀^π (π — x) dxИнтегрируем: a₀ = (2/π) · [π·x — x²/2]₀^π a₀ = (2/π) · (π² — π²/2) = (2/π) · (π²/2) = πСвободный член ряда: a₀/2 = π/2aₙ = (2/π) · ∫₀^π (π — x) · cos(n·x) dxПрименим метод интегрирования по частям:u = π — x ⇒ du = -dxdv = cos(n·x) dx ⇒ v = sin(n·x) / nПолучаем: ∫₀^π (π — x) · cos(n·x) dx = [(π — x) · sin(n·x) / n]₀^π — ∫₀^π (sin(n·x) / n) · (-dx)Вычисляем внеинтегральный член: при x = π: (π — π) · sin(n·π) / n = 0при x = 0: (π — 0) · sin(0) / n = 0Остаётся интеграл: = (1/n) · ∫₀^π sin(n·x) dx = (1/n) · [-cos(n·x) / n]₀^π = (-1/n²) · (cos(n·π) — cos(0))Учитывая, что cos(n·π) = (-1)ⁿ и cos(0) = 1: = (-1/n²) · ((-1)ⁿ — 1) = (1 — (-1)ⁿ) / n²Подставляем в формулу для aₙ: aₙ = (2/π) · (1 — (-1)ⁿ) / n² = 2·(1 — (-1)ⁿ) / (π·n²)Значение (1 — (-1)ⁿ) зависит от чётности номера гармоники n: Если n чётное (n = 2k, где k = 1, 2, 3, ...): 1 — (-1)²ᵏ = 1 — 1 = 0 ⇒ a₂ₖ = 0 (все чётные гармоники обнуляются)Если n нечётное (n = 2k — 1, где k = 1, 2, 3, ...): 1 — (-1)²ᵏ⁻¹ = 1 — (-1) = 2 ⇒ a₂ₖ₋₁ = (2 · 2) / (π · (2k — 1)²) = 4 / (π · (2k — 1)²)Компактная запись через знак суммы: f(x) = π/2 + (4/π) · ∑ [cos((2k — 1)·x) / (2k — 1)²] (сумма от k = 1 до ∞)Развёрнутая запись: f(x) = π/2 + (4/π) · ( cos(x)/1² + cos(3x)/3² + cos(5x)/5² + cos(7x)/7² +… )С вычисленными знаменателями: f(x) = π/2 + (4/π) · ( cos(x)/1 + cos(3x)/9 + cos(5x)/25 + cos(7x)/49 +… )Подставим точку x = 0 в полученное разложение. Так как f(0) = π — 0 = π и cos(0) = 1:π = π/2 + (4/π) · ( 1/1² + 1/3² + 1/5² + 1/7² +… ) π/2 = (4/π) · ( 1/1² + 1/3² + 1/5² + 1/7² +… )Умножив обе части на π/4: 1/1² + 1/3² + 1/5² + 1/7² +… = π²/8