Необходимым условием является, что векторы a и b перпендикулярны. Оно же является достаточным.
Общее решение: x = Pa + b/(|a|sin(a,b)) , где P — произвольное число, при этом тройка a,x,b должна быть правой

Понятно, что если бобовые накопят 126 кг соединений азота на 1 га, то на будущий год морковь сумеет использовать (получит) 60% от этого, т.е. 126*60%=75,6 кг соединений азота.

1. Пешеход движется по постоянной скоростью, он окажется в Y через 21/5=4,2 часа после выхода из X.
2. Так как наш спрашивают о максимальной разнице во времени прибытия, но не сообщают, кто раньше прибывает в Y, то нам сначала нужно определить, может ли велосипедист прибыть в Y позже пешехода.
3. Велосипедист не может вернуться в Y позже, чем через 21*2/10 (минимальная скорость передвижения)=4,2 часа=4 ч 12 м. При этом максимальное время нахождения велосипедиста в пути составляет Tmax= t+ (26/60 + 26/60*13/10) + t*13/10ч, где t — время в часах до встречи с пешеходом. Tmax=(t+26/60)*23/10. Так как максимальное значение t равно 21/(10+5)=1,4 часа = 1 ч 24 мин. Тогда T max = (1 ч 24 мин + 26 мин)*23/10=110 мин * 23/10=253 мин = 4 ч 13 мин. 
Таким образом, велосипедист может отстать от пешехода не более, чем на 1 минуту (на самом деле, при получении этой оценки мы были более, чем консервативны). В любом случае, если нам удастся показать, что велосипедист может приехать раньше пешехода более, чем на 1 минуту, то рассматривать вариант, когда велосипедист приезжает позже, не стоит — достаточно, чтобы велосипедист приехал как можно раньше, это максимально увеличит разницу между временами прибытия. 
3. Понятно, что для того, чтобы велосипедист максимально обогнал пешехода, ему нужна как можно бОльшая дистанция от точки встречи до Y. Для этого он должен двигаться до встречи как можно быстрее.
Итак, он должен двигаться со скоростью 13 км/ч до встречи, затем еще 26 минут со скоростью 10 км/ч — чтобы потом как можно быстрее вернуться к точке встречи, потом продолжать движение с максимальной скоростью.
Таким образом, велосипедист будет ехать 1ч 24 мин до встречи с пешеходом, потом еще 26 минут дальше к X, потом еще 26 мин*10/13=20 мин, потом еще 1 ч 24 мин от точки встречи, итого будет 1ч24мин+26мин+20мин+1ч24мин = 3ч 34 мин. Пешеход же будет идти, как мы установили, 4ч12мин, разница составит 38 мин — намного больше той 1 минуты, которую мы рассматривали раньше.
UPD. В решении выше ошибка в расчете, максимальная скорость сближения не 10+5 км/ч, а 13+5 км/ч, поэтому время до встречи составит 21/18=1ч10мин, столько же обратно, это разница в 14+14=28 минут, поэтому максимальная разница 38+28=66 минут

20 (различных точек) *19 (прямых через каждую точку) /2 (потому что каждую прямую посчитали дважды) =190 прямых

Октаэдр устроен так, что его противоположные вершины являются противоположными вершинами квадрата со стороной, равной ребру октаэдра, поэтому искомое расстояние равно V2
Имеется 4 способа «выйти» из вершины октаэдра, а потом еще 2 способа попасть из вершины, в которой оказались, в противоположную исходной вершину «за два ребра», итого 4 х 2 = 8 способов

1.34. Пускай исходный прямоугольник имел размеры m x n, где m и n — целые числа, не меньшие 1. Тогда площадь прямоугольника была mn, а площадь «рамки» (m+2)(n+2) — mn. По условию (m+2)(n+2) — mn=mn, или
2m+2n+4=mn. Тогда (m-2)(n-2)=mn — 2m — 2n +4= (mn — 2n — 2m -4) + 8=0+8=8.
Из этого следует, что (m-2)(n-2)=8, оба множителя слева должны быть положительны, откуда 
для (m-2) и (n-2) возможны пары (1,8), (2,4), (4,2), (8,1). Тогда для m и n возможны пары (3,10), (4, 6), (6,4), (10,3), а площадь картины могла быть 30 или 24.

1.36. Периметр равен (6 + 4 + 5) х 2 = 30.

Нетрудно видеть, что если «перенести» параллельно все горизонтальные отрезки сверху на одну прямую, то мы получим еще один отрезок длины 6. То же произойдет если мы перенесем вертикальные отрезки, они сформируют еще одну «сторону» длиной 5 и еще одну «сторону» длиной 4.

Уберем пока что две параллельные прямые, останется 8 прямых, каждая из которых пересекает все 7 остальных, причем все точки пересечения различны, так как никакие три прямые не проходят через одну точку. Тогда у нас всего 8*7/2=28 точек пересечения (мы делим пополам, так как каждая точка пересечения принадлежит двум прямым и потому была посчитана нами дважды).
Теперь вернем наши параллельные прямые, каждая из них пересекает еще 8 прямых, то есть еще 8*2=16 точек пересечения. Всего получается 28+16=44 точки пересечения.

Пусть сумма чисел равна 11n, а Настя задумала число k, при этом и n, и k — натуральные числа, не большие 9. Тогда Алеша задумал число (11n-k).
Тогда (11*n-k)*k=111*l, где l — натуральное число, тоже не большее 9. 
111*l=3*37*l, при этом 37 — простое число, то есть k не может быть его делителем,
стало быть, (11*n — k) должно делиться на 37. Еще одно условие — произведение слева должно делиться на 3, но первый множитель не может делиться на 3, поэтому на 3 должно делиться k.
Мы получаем следующие варианты:
11*n — k =37 или 11*n — k=74.
В первом случае n=4, k=7,  но k делится на 3.
Во втором случае n=7, k=3 — ура, получилось!
Итак, Алеша задумал 74, Настя задумала 3.

138. Выполним последовательные преобразования левой части
BC*AD + CA*BD+AB*CD=
= — CB*AD + CA*BD + AB*CD=
= — (CA + AB) * AD + CA* BD + AB * CD=
= CA*BD — CA* AD + AB* CD — AB*AD=
= CA * (BD — AD) + AB * (CD — AD) =
= CA * BA + AB * CA = 
= CA * (BA + AB) = CA * 0 = 0, что и требовалось доказать.

143*. Понятно, что вектор х должен быть перпендикулярен векторам b и c, то есть плоскости, натянутой на векторы b и с, а теперь нужно определить, как он соотносится с вектором a. Разложим вектор a сумму два векторов: проекцию на плоскость векторов b и c и компоненту, нормальную к этой плоскости, назовем их Abc и An, получим A=Abc + An. Понятно, что (Abc+An,x) = (An,x)=1. Отсюда и получаем, что x — вектор, совпадающий по направлению с компонентом вектора A, нормальным к плоскости, натянутой на векторы b и с, и и по модулю равный 1/|An|. 
Думаю, что там есть какое-то выражение через a, b и c аналитическое.