Деление многочленов - блог №58617

Попросили объяснить метод решения задач на уравнения с параметрами. Например, для уравнения a*x^3-2*x^2-5*x+b = 0 известны два корня 1 и -2. Найти третий.

План решения :

1) подстановкой корней получить два уравнения связи между параметрами a и b.

2) Найденные значения параметров подставить в исходное уравнение и разделить на корневые множители.

Последнее время варианты заданий ЕГЭ стали обогащать (или отягощать ) уравнениями 4й степени,например (2x^2-x+1)^2+6x=1+9x^2.

Предлагаемый в большинстве учебников алгоритм решения подобных уравнений обычно включает перебор целых чисел для угадывания одного из корней х1 с последующим понижением степени уравнения через деление на корневой множитель (х-х1).

В данном примере легко угадывается x1=0. Если тупо раскрыть скобки и собрать все слагаемые слева от знака равенства, то после деления на 4х можно порадоваться простоте уравнения х^3-х^2-х+1=0 и лёгкости его решения х=+1 и х=-1.

Но попробуйте применить такой же порядок действий к уравнению x^4-25x^3+60x-36=0.

Перебором нашли корень х1=1. После деления на (х-1) смотрим на кубическое уравнение x^3+x^2-24x+36=0.