Даны три вершины параллелограмма ABCD: A(−3;3;1) , B(−1;3;−1) , C(−2;7;−2). Определить: a) координаты четвертой вершины D; б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB; в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD. - вопрос №3134893

a) Найдем координаты вектора AB (из координат конца вектора вычли координаты начала).

1 способ

AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2)
Пусть D(x;y;z), тогда координаты вектора DC=(-2 — x; 7 — y; -2 — z).
Тогда 
-2-x = 2
7-y = 0
-2-z = -2
Следовательно, x = -4, y = 7, z = 0, координаты точки D (-4, 7, 0).

2 способ
 
D=OA+BC=(-3;3;1)+(-2-(-1); 7-3; -2 — (-1))=(-3;3;1)+(-1; 4; -1) = (-4; 7; 0)

б) Длина высоты, опущенной из вершины D на сторону AB:
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2) (находили в первом пункте).
AD = (-4 — (-3); 7 — 3; 0 — 1) = (-1; 4; -1)
Векторное произведение ABxAD = 

Площадь параллелограмма=|ABxAD|==12
Высота=Площадь параллелограмма / основание 
Основание |AB|=
Высота = 

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD

Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
AC * BD = 1*(-3) + 4*4 + (-3)*1= -3 + 16 -3 = 10

Найдем модули векторов


Найдем угол между векторами:

a) Найдем координаты вектора AB (из координат конца вектора вычли координаты начала).

1 способ

AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2)
Пусть D(x;y;z), тогда координаты вектора DC=(-2 — x; 7 — y; -2 — z).
Тогда 
-2-x = 2
7-y = 0
-2-z = -2
Следовательно, x = -4, y = 7, z = 0, координаты точки D (-4, 7, 0).

2 способ
 
D=OA+BC=(-3;3;1)+(-2-(-1); 7-3; -2 — (-1))=(-3;3;1)+(-1; 4; -1) = (-4; 7; 0)

б) Длина высоты, опущенной из вершины D на сторону AB:
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2) (находили в первом пункте).
AD = (-4 — (-3); 7 — 3; 0 — 1) = (-1; 4; -1)
Векторное произведение ABxAD = 

Площадь параллелограмма=|ABxAD|==12
Высота=Площадь параллелограмма / основание 
Основание |AB|=
Высота = 

в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD

Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
AC * BD = 1*(-3) + 4*4 + (-3)*1= -3 + 16 -3 = 10

Найдем модули векторов


Найдем угол между векторами:

Дополнение к ответу на в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD.
Сократим дробь