В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. На отрезке BH отмечена точка K, а на отрезке CH - точка M так, что BK:KH=1:4 и - вопрос №3610247

Ответ: AO:OH=1:2.

точка пересечения высот А 
АО=0 АО/ОН=0

ответ: 1:2.
Решение. Поставим треугольник АВС в прямоугольную систему координат, пусть координаты его вершин будут  А(0; 0), В(0; в), С(а; 0). Тогда последовательно находим координаты  точек  Н, К, М, О.
Действительно,
уравнение прямой (ВС)  х/а+у/в=1, уравнение прямой (АН) у=ах/в. Тогда Н — точка пересечения этих прямых, получаем, Н(ав^2/(а^2+в^2) ; а^2в/(а^2+в^2) ).
BK=1/5 BH, отсюда находим координаты точки К(1/5 ав^2/(а^2+в^2); 1/5 а^2в/(а^2+в^2) + 4в/5 ).
Аналогично,
CM=1/6 CH, отсюда находим координаты точки M(
Уравнение прямой (АМ)  у=mx, где m=а^2в/(5а^3+6aв^2) .
(KO) перпендикулярна (AM),  поэтому 
уравнение прямой (КО)   (x-xk)/m=(y-yk)/(-1).
Точка О есть точка пересечения прямых (КО) и (АН), отсюда находим координаты точки 
О(1/3 ав^2/(а^2+в^2) ; 1/3 а^2в/(а^2+в^2)  ).
Значит, AO = 1/3 AH, откуда и следует ответ.