Олимпиада - вопрос №430751

Заметим, что в правой части равенства — сумма кубов.
Она выражется формулой:

y^3 + 1=(y+1)(y^2-y+1)

То есть правая часть раскладывается на множители.

А раз левая часть делится только на множители вида p^k, значит и каждый из множителей правой части делится только на аналогичные числа.

1) В простейшем случае одна из скобок справа будет равна 1. Очевидно, что вторая (тк y+1 не меньше 2х)
Отсюда получаем, что y^2-y+1=1
То есть y=1. p^x=2, откуда и p=2, x=1.

Теперь нетривиальный случай.

2)
Раз каждая скобка делится на множители вида p^k, то их частное будет иметь точно такой же вид — p в некоей степени.

В связи с этим можем написать:

y^2-y+1=m(y+1), где за m обозначили p в некоей степени, не большей x, и предположили, что вторая скобка заведомо не меньше первой (легко убедиться, решив неравенство y^2-y+1>=y+1, что оно верно для y>=2. а y=1 мы уже рассмотрели)

Теперь решим это уравнение, как квадратное.

Дискриминант:
D=(m+1)^2 +4m — 4 = m^2 + 6m — 3 = (m+3)^2 — 12.

А ответ имеет вид: y=(m+1+_кореньD)/2 (1)

Собственно, ответ получен, осталось выбрать из него натуральные числа.
Раз все натуральны — дискриминант полный квадрат.

То естьD=(m+3)^2 — 12=n^2

(m+3)^2 =12+n^2

Или, используя формулу разности квадратов:

(m+3)^2-n^2 = (m+3+n)(m+3-n)=12. m и n — натуральные, то есть не меньше 1 (очевидно из предыдущих равенств). Значит первая скобка не меньше 5, и равна 6 или 12.

Отсюда получаем 2 случая:

1)m+n+3=6   
   m-n+3=2

2)m+n+3=12
   m-n+3=1

Из первого m=1, n=2
Второй не имеет натуральных решений.

То есть Дискриминант равен n^2=4

Откуда, возвращаясь к решению уравнения (1) y=(m+1+_n)/2 = (2+_2)/2. y=2 или 0.

0 нам не подходит, тк y натуральное.

Для y=2, p^x=9. Очевидно, p=3, как единственный простой множитель числа 9, тогда x=2

Окончательный Ответ:
p=2, x=y=1
p=3, x=y=2