а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,75. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π2]. - вопрос №4352332

а) Заметим, что для любого угла x верно равенство cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Поэтому, преобразовав уравнение, получим:

cos^2(x) + sin^2(x) + 2cos(x)sin(x) = 1 + 2cos(x)sin(x)

(так как sin(2x) = 2sin(x)cos(x))

Теперь можно использовать формулу для sin(2x):

sin(2x) = 2cos(x)sin(x)

Подставляем ее в полученное выражение и получаем:

cos^2(x) + sin^2(x) + sin(2x) = 1 + sin(2x)

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Получаем, что исходное уравнение равносильно уравнению:

sin(2x) = -0.25

б) Используем формулу для sin(2x):

sin(2x) = -0.25

Так как x лежит на отрезке [π, 5π/2], то 2x лежит на отрезке [2π, 5π].

Поскольку sin(2x) отрицательный, то 2x лежит в третьем или четвертом квадрантах. Также заметим, что sin(2x) меньше -1/2, значит, угол 2x должен быть меньше -π/6 или больше 7π/6.

Итак, решаем уравнение на отрезке [-π/6, 7π/6]:

2x = -7π/6 => x = -7π/12

2x = -5π/6 => x = -5π/12

2x = 11π/6 => x = 11π/12

2x = 13π/6 => x = 13π/12

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 5π/2], равны -7π/12, -5π/12, 11π/12 и 13π/12

а) Заметим, что для любого угла x верно равенство cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Поэтому, преобразовав уравнение, получим:

cos^2(x) + sin^2(x) + 2cos(x)sin(x) = 1 + 2cos(x)sin(x)

(так как sin(2x) = 2sin(x)cos(x))

Теперь можно использовать формулу для sin(2x):

sin(2x) = 2cos(x)sin(x)

Подставляем ее в полученное выражение и получаем:

cos^2(x) + sin^2(x) + sin(2x) = 1 + sin(2x)

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Получаем, что исходное уравнение равносильно уравнению:

sin(2x) = -0.25

б) Используем формулу для sin(2x):

sin(2x) = -0.25

Так как x лежит на отрезке [π, 5π/2], то 2x лежит на отрезке [2π, 5π].

Поскольку sin(2x) отрицательный, то 2x лежит в третьем или четвертом квадрантах. Также заметим, что sin(2x) меньше -1/2, значит, угол 2x должен быть меньше -π/6 или больше 7π/6.

Итак, решаем уравнение на отрезке [-π/6, 7π/6]:

2x = -7π/6 => x = -7π/12

2x = -5π/6 => x = -5π/12

2x = 11π/6 => x = 11π/12

2x = 13π/6 => x = 13π/12

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 5π/2], равны -7π/12, -5π/12, 11π/12 и 13π/12