Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности указанной точки x₀. Найти область сходимости полученного ряда к этой функции. - вопрос №5107391

Разложение в ряд Тейлора функции
f (x) = sin (x) вокруг точки x₀ = a определяется выражением:

sin(x) = sin(a) + cos(a) (x-a) — sin(a) (x-a)^2/2 — cos(a) (x-a)^3/6 +…

Коэффициенты ряда можно вычислить, используя производные от f(x) при x=a:

f (а) = sin (а)
f'(а) = cos(а)
f''(а) = -sin(а)
f'''(а) = -cos(а)
f''''(а) = sin(а) и так далее.

Область сходимости результирующего ряда к sin(x) — это множество всех x, для которых ряд сходится к sin(x). По критерию отношения ряд сходится для всех x, а это означает, что областью сходимости является вся действительная прямая. Это связано с тем, что члены ряда уменьшаются по абсолютной величине и стремятся к нулю по мере увеличения степени членов, независимо от значения x