Top.Mail.Ru
Главная arrow icon Вопросы arrow icon Учеба и наука arrow icon Математика arrow icon Розв'яжіть...

Розв'яжіть... - вопрос №5662675

Площина, проведена через дві твірні конуса, перетинає його основи по хорді, яку видно із центра основи конуса під кутом a. Кут між проведеною площиною та площиною основи конуса дорівнює b. Знайдіть об’єм конуса, якщо радіус його основи дорівнює R.
Анрій
04.03.25
Учеба и наука / Математика
1 ответ

Ответы

Рейтинг: 2 954

Нехай дано:  

  • основа конуса має радіус R;  
  • площина, проведена через дві твірні, перетинає основу по хорді, яку з центру видно під кутом α (тобто хорда утворює центральний кут α);  
  • кут між цією площиною та основою дорівнює β.

Припустимо, що точка M – середина цієї хорди. За геометрією кола її відстань від центру O дорівнює

  OM = R · cos(α/2).

Позначимо через VM відрізок від вершини V до M у площині, що містить V та хорду. Проекцією VM на площину основи є відрізок OM, а вертикальна складова – висота конуса h. Оскільки кут між VM та його проекцією дорівнює β, маємо

  cosβ = (OM) / (VM)            (1) 
       sinβ = h / (VM)              (2)


З (1) знаходимо довжину VM:   VM = OM / cosβ = (R · cos(α/2)) / cosβ.

Тоді з (2) висота конуса:   h = VM · sinβ = R · cos(α/2) · (sinβ/cosβ) = R · cos(α/2) · tanβ.

Об’єм конуса визначається формулою   V = (1/3) · π · R² · h.


Підставляємо h:   V = (1/3) · π · R² · (R · cos(α/2) · tanβ)     = (π · R³ · cos(α/2) · tanβ) / 3.

Таким чином, об’єм конуса дорівнює

  V = (π · R³ · cos(α/2) · tanβ) / 3.


 
04.03.25

Михаил Александров
Сейчас на сайте
Рейтинг: 4308 111
Эксперт месяца
Читать ответы

Eleonora Gabrielyan
Рейтинг: 245 086
2-й в Учебе и науке
Читать ответы

Александр
Рейтинг: 141 437
3-й в Учебе и науке
Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Похожие вопросы
Пользуйтесь нашим приложением Доступно на Google Play Загрузите в App Store
  • карты visa
  • карты master card
  • карты maestro
  • карты МИР

Сервис LiveExpert.org (18+) содержит информацию только для совершеннолетних 18+ и может использоваться в информационно-развлекательных целях. Используя Сервис LiveExpert.org, вы принимаете Пользовательское соглашение, Политику конфиденциальности и Политику cookie.

Эксперты Сервиса LiveExpert.org не являются членами команды Сервиса или его представителями. LiveExpert.org проверяет Экспертов и даёт допуск к работе через Сервис, однако не несёт ответственности за обещания и утверждения, указанные на страницах Экспертов и в отзывах других Пользователей об Экспертах Сервиса. LiveExpert.org не гарантирует, что информация, полученная на консультации, приведёт к ожидаемым целям и результату.

Любые консультации Экспертов или ответы на вопросы, содержащиеся в категории вопросов «Медицина» (а также и в других категориях) ни при каких условиях не являются рекламой или оказанием медицинских услуг. Сервис LiveExpert.org не несет ответственность за назначенные Экспертом препараты и рекомендует обращаться в соответствующее лечебное учреждение или к лечащему врачу для согласования возможных рисков от приема рекомендованных экспертами препаратов. Пользователь Сайта, принимая решение следовать рекомендациям Эксперта, берет на себя ответственность за возможные последствия.
Мы используем файлы cookie. Пользуясь сайтом, вы принимаете условия нашего соглашения. Принять Детальнее