Здравствуйте, решите пожалуйста номера 1-3. - вопрос №5662756

(а) Ряд:

5/9 + 8/11 + 11/13 + 14/15 + ...

Общий член:
a_n = (3n + 2) / (2n + 7)

При больших n:
a_n ≈ (3n) / (2n) = 3/2

Так как a_n не стремится к нулю, ряд расходится.

(б) Ряд:

∑ (-1)^(n+1) * (n³ + 3n²) / √(n⁸ + 49)

Ряд знакочередующийся, применяем признак Лейбница.

Рассмотрим модуль общего члена:
a_n = (n³ + 3n²) / √(n⁸ + 49)

При больших n приближается к:
a_n ≈ n³ / n⁴ = 1/n

Так как a_n убывает и стремится к 0, ряд сходится условно.

Проверим абсолютную сходимость:
Рассмотрим ∑ |a_n|, он ведёт себя как ∑ 1/n (гармонический ряд), который расходится.
Значит, ряд не сходится абсолютно, а только условно.

(в) Ряд:

∑ 1 / (n * (ln n)⁷), n ≥ 2

Используем интегральный признак, исследуем интеграл:
∫ (dx / (x * (ln x)⁷))

Подстановка t = ln x даёт:
∫ dt / t⁷

Этот интеграл сходится, значит, ряд сходится.

(г) Ряд:

∑ (n+3)! / nⁿ⁺⁴

Используем признак сравнения.

При больших n:
a_n ≈ n! / nⁿ

Ряд быстро убывает, а ∑ 1/nᵏ при k > 1 сходится.
Значит, данный ряд сходится.

(д) Ряд:

∑ (-1)^(n+1) * [(7n — 6) / (4n + 19)]^(3n+2)

Выражение (7n — 6) / (4n + 19) стремится к 7/4, что больше 1.

Тогда [(7/4)^(3n+2)] растёт, а не стремится к 0.
Значит, общий член ряда не стремится к нулю, и ряд расходится.

Задача 2. Найти радиус сходимости степенного ряда

∑ ((x+9)ⁿ / ((n² + 5) * 2ⁿ))

Используем признак Д’Аламбера:

|a_(n+1) / a_n| ≈ |(x+9)/2|

Для сходимости:
|(x+9)/2| < 1
-2 < x+9 < 2
-11 < x < -7

Радиус сходимости: R = 2
Интервал: -11 < x < -7
Концы x = -11 и x = -7 надо проверить отдельно.

Задача 3. Разложение в ряд Тейлора

Функция:
f(x) = 3^(x-5), точка x₀ = 5.

Переписываем через экспоненту:
3^(x-5) = e^((x-5) ln 3)

Разложение e^y в ряд Тейлора:
1 + y + y²/2! + y³/3! + ...

Где y = (x-5) ln 3.

Первые три ненулевых члена:
1 + (x-5) ln 3 + ( (x-5)² (ln 3)² ) / 2