Боковое ребро и сторона основания... - вопрос №643238

ВВедем обозначения: а — сторона основания, d — диагональ основания, с- боковое ребро пирамиды, L -образующая пирамиды, Р — периметр основания, Н — высота пирамиды.

Исходя из условия задачи имеем: а = с = 10;

Найти: S(пол) — ?, V(пир) -?, угол наклона бокового ребра (обозначим через К)-? и  угол наклона боковой грани к плоскости основания (обозначим через Х) -?

Реш.: S(пол)= S(бок. пов) + S(осн),

S(бок. пов) = РL/2, S(осн) = а^2 (где ^2 — возведение в квадрат), тогда

S(осн) = 10*10 = 100, т.к. пирамида правильная и 4-хугольная, то значит в основании лежит квадрат.

Р = 4*а = 4*10 =40.

Боковая поверх-сть пирамиды представляет собой 4 равносторонних треугольника, в которых образующая L будет являться и высотой и медианой и бессиктрисой.

Площадь правильного треуг-ка определяется по формуле:

S(треуг) = V3*a^2/4 (где ^2 — возведение в квадрат, а V — извлечение квадратного корня), тогда

S(треуг) = 100V3/4 = 25V3.

Учитывая, что формулу площади треуг-ка можно записать по формуле:

S(треуг) = аh/2 (где а — сторона треуг-ка, а h — высота проведенная к этой стороне). Отсюда можно найти высоту треуг-ка, которая будет являться образующей пирамиды

L = 2S(треуг)/a,

L = 2*25V3/10 = 5V3.

S(бок пов) = 40*5V3 / 2 = 100V3.

Теперь находим площадь пол повер-сти пирамиды:

S = S(бок)+S(осн)

S = 100V3 +100 = V40000 = 200.

V (пир) = S(осн)*H/3.

Чтобы найти высоту пирамиды рассмотрим треугольник, образованный бок ребром пирамиды, половиной диагонали и высотой, этот треуг-к прямоуг-ный, по теореме Пифагора можно найти неизвесную высоту, которая является катетом, бокребро является гипотенузой

c^2 = a^2 + b^2 (теорема Пифагора, где с — гипотенуза треуг-ка, а,b — катеты треуг-ка).

Найдем второй катет этого треуг-ка — это половина диагонали, найдем диагональ для этого

d = aV2 (формула расчета диагонали квадрата)

d = 10V2, значит d/2 = 5V2

H=V(c^2-(d/2)^2)

H = V(100-50) = V50=5V2

V = 100*5V2/3=500V2/3.

Для нахождения угола наклона бокового ребра — угла К, рассмотрим прямоуг-ый треуг-к, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали и бок стороны пирамиды:

sin K = H / c

sin K = 5V2 / 10 = V2/2

угол К = arcsin(V2/2) = 45 градусов.

Для нахождения угола наклона боковой грани к плоскости основания — угла Х, рассмотрим треуг-к, образованный образующей пирамиды, ее высотой и отрезком проведенным к образующей из точки пересения диагоналей основания, этот треуг-к прямоуг-ный, а значит:

sin X = H/L

sin K = 5V2 /5V3 = V2/V3

угол Х = arcsin(V2/V3) = 54 градуса 73 мин или примерно 55 градусов.