Форофонтов Константин (kief)

Это легко проверить.

Проведем следующие преобразования указанного выражения:

n^2012 — 1 = (n^4)^503 — 1 = (n^4 — 1)((n^4)^502 + (n^4)^501 +… +(n^4)^2 + (n^4) + 1).

В справедливости формулы a^k — 1 = (a-1)(a^(k-1) +… +1) легко убедится, просто перемножив скобки.


То есть мы разложили выражение на множители. По условию, каждый их множителей должен быть степенью двойки.

Достаточно рассмотреть лишь первый.

n^4 — 1 = (n^2 — 1)(n^2 + 1) = (n-1)(n+1)(n^2+1)

Получили очередные три множителя. Очевидно, что n-1 и n+1 могут быть степенью двойки только при n=3. Тогда (n^2 + 1) будет равно 10 — со степенью двойки и рядом не стояло.

То есть для любого натурального n указанное выражение степенью двойки не является.

Ответ очень прост и дан прямо в условии.

Нам нужно утроить количество воды при переливании. То есть конечное количество должно быть кратно 3м.
Это 9, 12 или 15 литров (вариант с 9ю тривиален — переливаем из 4 в 2, а затем, полученные 6 литров в 3 — поэтому меньший ответ не расматриваем).

Чтобы получить больше, нам нужно иметь ведра 8 или 10 литров (для получения 12 и 15ти литров соответственно). Но как раз эти числа мы получить никак не можем — т.к. они не делятся на 3.

Объясню подробнее:
в начальный момент все ведра наполнены меньше либо равно на 5 литров.
И всюду количество литров в натуральных числах.

Переливаем из ведра, в котором в два раза больше воды (то есть переливаем четное количество воды!). И получаем — обязательно! — утроенное количество воды: 6, 9 и тд. литров! Других количеств нам не получить, если их уже нет!

Вывод: ведро 9 литров уже никуда не перелить — нечетно.
Помимо 9ти литров, во всех ведрах может быть не больше 6ти литров.
4 или 5 литров нам не утроить, поскольку ведер по 8 и 10 литров нет и не будет.

Ответ: 9 литров.

К слову, даже если мы возьмем еще ведра с 6ю и 7ю литрами, то больше 9ти, как легко убедиться из этих рассуждений, мы не получим — у нас будет тот же набор чисел, меньших 8ми — нужных, чтоб получить 12, а там и 18.

Заметим, что в правой части равенства — сумма кубов.
Она выражется формулой:

y^3 + 1=(y+1)(y^2-y+1)

То есть правая часть раскладывается на множители.

А раз левая часть делится только на множители вида p^k, значит и каждый из множителей правой части делится только на аналогичные числа.

1) В простейшем случае одна из скобок справа будет равна 1. Очевидно, что вторая (тк y+1 не меньше 2х)
Отсюда получаем, что y^2-y+1=1
То есть y=1. p^x=2, откуда и p=2, x=1.

Теперь нетривиальный случай.

2)
Раз каждая скобка делится на множители вида p^k, то их частное будет иметь точно такой же вид — p в некоей степени.

В связи с этим можем написать:

y^2-y+1=m(y+1), где за m обозначили p в некоей степени, не большей x, и предположили, что вторая скобка заведомо не меньше первой (легко убедиться, решив неравенство y^2-y+1>=y+1, что оно верно для y>=2. а y=1 мы уже рассмотрели)

Теперь решим это уравнение, как квадратное.

Дискриминант:
D=(m+1)^2 +4m — 4 = m^2 + 6m — 3 = (m+3)^2 — 12.

А ответ имеет вид: y=(m+1+_кореньD)/2 (1)

Собственно, ответ получен, осталось выбрать из него натуральные числа.
Раз все натуральны — дискриминант полный квадрат.

То естьD=(m+3)^2 — 12=n^2

(m+3)^2 =12+n^2

Или, используя формулу разности квадратов:

(m+3)^2-n^2 = (m+3+n)(m+3-n)=12. m и n — натуральные, то есть не меньше 1 (очевидно из предыдущих равенств). Значит первая скобка не меньше 5, и равна 6 или 12.

Отсюда получаем 2 случая:

1)m+n+3=6   
   m-n+3=2

2)m+n+3=12
   m-n+3=1

Из первого m=1, n=2
Второй не имеет натуральных решений.

То есть Дискриминант равен n^2=4

Откуда, возвращаясь к решению уравнения (1) y=(m+1+_n)/2 = (2+_2)/2. y=2 или 0.

0 нам не подходит, тк y натуральное.

Для y=2, p^x=9. Очевидно, p=3, как единственный простой множитель числа 9, тогда x=2

Окончательный Ответ:
p=2, x=y=1
p=3, x=y=2