математика - вопрос №431025

Это легко проверить.

Проведем следующие преобразования указанного выражения:

n^2012 — 1 = (n^4)^503 — 1 = (n^4 — 1)((n^4)^502 + (n^4)^501 +… +(n^4)^2 + (n^4) + 1).

В справедливости формулы a^k — 1 = (a-1)(a^(k-1) +… +1) легко убедится, просто перемножив скобки.


То есть мы разложили выражение на множители. По условию, каждый их множителей должен быть степенью двойки.

Достаточно рассмотреть лишь первый.

n^4 — 1 = (n^2 — 1)(n^2 + 1) = (n-1)(n+1)(n^2+1)

Получили очередные три множителя. Очевидно, что n-1 и n+1 могут быть степенью двойки только при n=3. Тогда (n^2 + 1) будет равно 10 — со степенью двойки и рядом не стояло.

То есть для любого натурального n указанное выражение степенью двойки не является.