Площадь равнобочной трапеции описанной около окружности равна 144.5. Найти радиус окружности если угол при основании трапеции 30 градусов - вопрос №1051309

1) Пусть АВСD — равнобочная трапеция, тогда S(ABCD) = 144,5, АВ = CD, угол D = углу А = 30 градусам.
2) Доп. построение: проведём высоту СН.
3) В четырехугольник можно вписать окружность только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.: АВ + СD = BC + AD, а т. к. AB = CD, то ВС + AD = 2CD .
4) S(ABCD) = (BC + AD)/2 * CH = 2CD/2 * CH = CD * CH и следовательно, CD * CH = 144,5 .
5) Рассмотрим треугольник CHD: угол CHD = 90 градусов, угол D = 30 градусам, тогда СН = (1/2)CD (Катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы), тогда CD = 2CH .
6) CD * CH = 144,5 ; CD = 2CH. Тогда, 2СН * СН = 144,5 ;
                                                                 2CH^2 = 144,5 ;
                                                                 CH^2 = 72,25 ;
                                                                 CH = 8,5 .
7) Чтобы найти радиус вписанной окружности в трапецию надо высоту данной трапеции поделить пополам, т.е.: r = CH / 2 = 8,5 / 2 = 4,25 .
 
Ответ: Радиус окружности равен 4,25 см.