1/(1*4)+1/(4*7)+⋯+1/((3*n-2)*(3*n+1))=n/(3*n+1) Как доказать равенство? - вопрос №1292023

Можно доказать методом математической индукции.

Для n = 1 имеем:
1/(1*4) = 1/((3*1 -2)(3*1 + 1)) — верно

Предположим, что это верно для n = k, т.е.
S(k) = 1/(1*4) + 1/(4*7) + ⋯ + 1/((3*k-2)*(3*k+1)) = k/(3*k+1)
Докажем, что это верно для n = k + 1:
S(k + 1) = S(k) + 1 / ((3*(k + 1) -2)*(3*(k + 1) + 1))
S(k + 1) = k / (3*k + 1) + 1 / ((3*(k + 1) -2)*(3*(k + 1) + 1)) =
= k / (3k + 1) + 1/((3k +1)(3(k+1) + 1) =
= (k(3*(k + 1) + 1)) + 1) / ((3k +1)(3(k+1) + 1) = A / ((3k +1)(3(k+1) + 1))

A = 3k(k + 1) + (k + 1) = (3k + 1)(k + 1)
т.о. S(k + 1) = [(3k + 1)(k + 1)] / [(3k +1)(3(k+1) + 1)] = (k + 1) / (3(k+1) + 1)
Поэтому, из верности при n = k следует верность при n = k + 1.
Поэтому это верно для любого натурального n

Что и требовалось доказать