За правильное решение задачи заплачу 500 руб: В равнобедренном треугольнике точка пересечения биссектрис удалена от основания на 12 см , а точка пересечения средних перпендикуляров удалена - вопрос №1589592

Треугольник АВС, (угол В = С). АН — медиана, высота, биссектриса.
Биссектрисы пересекаются в центре вписанной в треугольник окружности (точка О). Радиус этой окружности — перпендикуляр, опущенный на сторону треугольника из центра окружности, что соответствует расстоянию от точки пересечения биссектрис до основания. r = 12 см.
Срединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной около треугольника окружности (точка K), тогда 25 см — это радиус описанной окружности. (R = 25 см)
Построим описанную окружность вокруг треугольника, продлим АН до пересечения с окружностью в точке D. Докажем, что треугольник ОВD — равнобедренный (угол BOD = угол ОВD).
угол BOD = угол АВО + угол ВАD
угол ОВD = угол ОВС + угол СВD
угол АВО = угол ОВС (т.к. ВО — биссектриса)
угол ВАD = угол СВD (т.к. опираются на равные дуги)

Это означает, что BD = DO. Обозначим ОК за х.
BD = DO = KD + x = R + x = 25 + x.

Угол ABD — прямой, потому что опирается на диаметр. Тогда по теореме Пифагора АВ^2 = AD^2 — BD^2 = 50^2 — (25 + x)^2.

Тогда AO = AK ® — OK = 25 — x. Из точки О опустим перпендикуляр  OM на сторону AC, 
заметим, что так как О — центр вписанной окружности, то ОМ = r = 12.

Треугольники АОМ и АКN (где КN — срединный перпендикуляр к АС) подобны (прямые ОМ и KN параллельны). Составим пропорцию: AO/OM = AK/KN, (25-x)/12 = 25/KN, KN = 12* 25/ (25-x).
Для прямоугольного треугольника AKN по теореме Пифагора верно следующее равенство: AN^2 = AK^2 — KN^2 = 25^2  — 12^2* 25^2/ (25-x)^2

AB = AC = 2* AN (KN — срединный перпендикуляр).
Значит, АВ^2 = 4* AN^2

50^2 — (25 + x)^2 = 4  * ( 25^2  — 12^2* 25^2/ (25-x)^2 )
Упрощаем уравнение и получаем:
(25 + x)^2 * (25-x)^2 = 4*12^2* 25^2
x=5

Тогда ВD = 30, AB = 40 (AD = 50 — египетский треугольник).
ВС = 2* ВН
BH^2= AB^2 — AH^2 = 40^2 — 32^2 = 24^2.
ВС = 2*24 — 48.

P = 40 + 40 + 48 = 128 см.