Докажите, что из любых ста целых чисел всегда можно выбрать несколько(или, может быть, одно) таких, что их сумма делится на 99 - вопрос №1657784

Пускай имеем 100 любых целых чисел. Предположим, что ни одно число не делится на 99 (ведь если какое-то число делится на 99, то задача решена).
Тогда будем поступать так:
1)расположим числа в неотором порядке а1, а2, а3, а4, ..., а99, а100.
2)Сначала найдем остаток от деления на 99 числа а1, потом суммы первого и второго чисел (а1+а2), далее первых трех чисел (а1+а2+а3), потом первых четырех чисел (а1+а2+а3+а4) и т.д. до суммы всех ста чисел.
Предположим что на некотогом шаге мы получили два равных остатка. например, для (а1+а2+а3)=99k+r и для (а1+а2+а3+а4+а5+а6+а7+а8)=99m+r.
Тогда от второй суммы отнимем первую (а1+а2+а3+а4+а5+а6+а7+а8)-(а1+а2+а3)=(а4+а5+а6+а7+а8)=99m+r-(99k+r)=99(m-k) т.е. сумма некоторых чисел делится на 99.

И последний момент: пускай все остатки при делении сумм чисел на 99 будут разные. Тогда всех их будет ровно 100, так как сумм чисел будет 100. Но при делении на 99 разных остатков может быть только 99. Значит по принципу Дирихле, среди 100 остатков найдутся два одинаковых. А это как мы уже видели означает, что разница соответствующих сумм даст сумму чисел, которая делится на 99.