Помогите пожалуйста решить транспортную задачу - вопрос №1903980

Шаг:1
Проверка на сбалансированность

Общее число запасов на складах :320; Общая потребность :300Мы видим, что общее число запасов превышает общую потребность на20.Задача являетя открытой (несбалансированной), для приведения ее к закрытой введем фиктивного потребителя №5c потребностью в продукции равной20.Все издержки по доставке продукции данному потребителю с любого склада принимаем равными нулю.


Шаг:2
Отыскание начального решения. Метод северо-западного угла

Запишем настоящую задачу в виде транспортной таблицы. В верхней строке перечислим потребности потребителей по порядку номеров. В левом столбце перечислим имеющиеся запасы на складах. На пересечении j-го столбца и i-й строки будем записывать количество продукции, поставляемое с i-го склада j-му потребителю. Пока начальное решение не найдено, оставим эти клетки пустыми.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=180     a2=60     a3=80     

Введем вспомогательные строку и столбец, в которых будем отмечать оставшиеся нераспределенные запасы и соответственно потребности (остатки). Изначально их содержимое равно исходным запасам и потребностям, так как еще ничего не распределялось. На рисунке они представлены желтым цветом.


Выберем клетку в которую будем распределять продкуцию на следующей итерации, это левая верхняя клетка (севрозападный угол). На рисунке как сама клетка так и соответсвующие ей остатки отображаются красным шрифтом.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20 a1=180X    180a2=60     60a3=80     80 12040608020 
Итерация: 1
Заполним клетку a1,b1.
Сравним значения остатков для производителя a1 и потребителя b1.

Нераспределенных остатков по потребностям для b1 меньше (см. таблицу выше, красный шрифт), запишем меньшее число в клетку a1,b1 одновременно вычитая его из обеих клеток остатков (см. таблицу ниже). При этом клетка остатков по потребностям обнулится указывая, что все потребности для b1 удовлетворены (см. таблицу ниже). Поэтому исключим столбец b1 из дальнейшего рассмотрения (серый фон). 
Ненулевое значение остатка по запасам для a1 показывает, сколько единиц продукции у него осталось не потребленной.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20 a1=180120X   60a2=60     60a3=80     80 040608020 
Итерация: 2
Заполним клетку a1,b2.
Сравним значения остатков для производителя a1 и потребителя b2.

Нераспределенных остатков по потребностям для b2 меньше (см. таблицу выше, красный шрифт), запишем меньшее число в клетку a1,b2 одновременно вычитая его из обеих клеток остатков (см. таблицу ниже). При этом клетка остатков по потребностям обнулится указывая, что все потребности для b2 удовлетворены (см. таблицу ниже). Поэтому исключим столбец b2 из дальнейшего рассмотрения (серый фон). 
Ненулевое значение остатка по запасам для a1 показывает, сколько единиц продукции у него осталось не потребленной.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20 a1=18012040X  20a2=60     60a3=80     80 00608020 
Итерация: 3 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20 a1=1801204020  0a2=60  X  60a3=80     80 00408020 
Итерация: 4 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20 a1=1801204020  0a2=60  40X 20a3=80     80 0008020 
Итерация: 5 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20 a1=1801204020  0a2=60  4020 0a3=80   X 80 0006020 
Итерация: 6 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20 a1=1801204020  0a2=60  4020 0a3=80   60X20 000020 
Итерация: 7 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20 a1=1801204020  0a2=60  4020 0a3=80   60200 00000 

Получено допустимое начальное решение (опорный план) (см. таблицу ниже), удовлетворенны нужды всех потребителей и использованы все запасы производителей.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=1801204020  a2=60  4020 a3=80   6020
Шаг:3

Проверим полученный опорный план на невырожденность. Количество заполненных клеток N должно удовлетворять условию N=n+m-1 . В нашем случае N=7, n+m=5+3=8, что удовлетворяет условию невырожденности плана. 

Шаг:4

Вычислим общие затраты на перевозку всей продукции. Для этого запишем транспортную таблицу в которой совместим найденный опорный план с величинами издержек. В левом верхнем углу каждой клетки будем указывать количество единиц продукции а в правом нижнем затраты на перевозку единицы продукции. (см. таблицу ниже) 

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=180120  240  320  4        a2=60        40  120  2    a3=80            60  220  0

Перемножим числа стоящие в одной клетке (для всех клеток) затем полученные произведения сложим. Получим значение суммарных затрат, для данного начального решения. 

Pнач=640
Шаг:5

Проведем поэтапное улучшение начального решения, используя метод потенциалов.

Итерация: 1

Составим вспомогательную рабочую матрицу затрат. Она строится из исходной матрицы издержек (см. Таблицу 3) путем переноса только тех ячеек Pij которые соответствуют заполненным клеткам транспортной таблицы. Остальные ячейки остаются пустыми.
Кроме того, введем вспомогательный столбец в который внесем значения неизвестных U1 … U3 (3, это m - число складов) и вспомогательную строку в которую внесем значения неизвестных V1 … V5 (5, это n - число потребителей). На рисунке они представлены желтым цветом. Эти n+m неизвестных должны для всех (i,j), соответствующих загруженым клеткам, удовлетворять линейной системе уравнений

Ui+Vj=Pij

Эту систему всегда можно решить следующим способом: На первом шаге полагают V5=0. Если на k-м шаге найдено значение неизвестной, то в системе всегда имеется еще не определенная неизвестная, которая однозначно может быть найдена на (k+1)-м шаге из уравнения Ui+Vj=Pij, так как значение другой неизвестной в этом уравнении уже известно. То какую неизвестную можно найти на (k+1)-м шаге, определяют методом проб. Переменные Ui и Vj называются симплекс-множителями или потенциалами.
Рабочая матрица затрат с рассчитанными потенциалами представлена ниже.

 b1b2b3b4b5 a1234  u1=3a2  12 u2=0a3   20u3=0 v1=-1v2=0v3=1v4=2v5=0 
Порядок вычисления потенциалов был следующий:
   1) Пусть V5 = 0 ;
   2) U3 = P3,5 - V5 ;
   3) V4 = P3,4 - U3 ;
   4) U2 = P2,4 - V4 ;
   5) V3 = P2,3 - U2 ;
   6) U1 = P1,3 - V3 ;
   7) V1 = P1,1 - U1 ;
   8) V2 = P1,2 - U1 ;

Теперь для всех свободных клеток рабочей матрицы затрат вычислим оценки Sij, по формуле Sij = Pij – Ui - Vj (зеленый цвет). Каждая такая оценка показывает на сколько изменятся общие транспортные затраты при загрузке данной клетки единицей груза. Таким образом, если среди оценок имеются отрицательные (затраты уменьшаются) то данный план можно улучшить переместив в соответствующую клетку некоторое количество продукции. Если же среди оценок нет отрицательных — план является оптимальным.
Рабочая матрица затрат с заполнеными оценками клетками представлена ниже.

 b1b2b3b4b5 a1234-2-3u1=3a263120u2=0a331320u3=0 v1=-1v2=0v3=1v4=2v5=0 

Из всех отрицательных оценок имеет смысл выбрать наибольшую по модулю (красный цвет), так как ее воздействие на общие затраты является максимальным. В нашем случае такая оценка находится в ячейке а1,b5 (красный цвет), в сответствующую ячейку транспортной таблицы мы должны переместить некоторое количество продукции т.е. загрузить ее. Отметим в транспортной таблице ячейку а1,b5 знаком + . Кроме нее мы пометим знаками - и + другие занятые числами ячейки таким образом, что в каждой строке и каждом столбце транспортной таблицы число знаков + будет равно числу знаков - . Это всегда можно сделать единственным образом, причем в каждой строке и каждом столбце содержится по одному + и - .То есть помеченные знаками клетки должны образовывать цикл.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=180120   40   20  -       +a2=60        40  +20  -    a3=80            60  +20  -

Затем мы определим минимум M из всех элементов, помеченных знаком —, и выбираем одну ячейку где этот минимум достигается. В нашем случае таковой является а1,b3и обозначает загруженую клетку, которая должна стать свободной.

Число M при этом составляет:20

Переход к новой транспортной таблице разбивается на следующие шаги.
а) В ячейку а1,b5 новой таблицы записывается число M.
б) Ячейка а1,b3 остается пустой.
в) В остальных ячейках, помеченных знаками — или +, число M соответственно вычитается из стоящего в ячейке числа или складывается с ним. Результат вносится в соответствующую ячейку новой таблицы.
г) Непомеченные числа переносятся в новую таблицу без изменений. Остальные ячейки новой таблицы остаются пустыми.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=18012040  20a2=60  600 a3=80   800
Итерация: 2
Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценкам. b1b2b3b4b5 a123310u1=0a230120u2=0a30-2320u3=0 v1=2v2=3v3=1v4=2v5=0 

Ячейка а3,b2, транспортной таблицы, должна загрузиться.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=180120   40  -        20  +a2=60        60   0       a3=80       +    80   0  -Ячейка а3,b5 становится свободной.M =0
 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=18012040  20a2=60  600 a3=80 0 80 
Итерация: 3
Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценкам. b1b2b3b4b5 a1231-10u1=0a252122u2=-2a321322u3=-2 v1=2v2=3v3=3v4=4v5=0 

Ячейка а1,b4, транспортной таблицы, должна загрузиться.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=180120   40  -       +20   a2=60        60   0       a3=80    0  +    80  -    Ячейка а1,b2 становится свободной.M =40
 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=180120  4020a2=60  600 a3=80 40 40 
Итерация: 4
Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценкам. b1b2b3b4b5 a121230u1=0a242121u2=-1a311321u3=-1 v1=2v2=2v3=2v4=3v5=0 

В приведенной выше таблице нет отрицательных оценок (план улучшить нельзя), следовательно достигнуто оптимальное решение.

 b1=120b2=40b3=60b4=80b5=20a1=180120  2        40  320  0a2=60        60  10  2    a3=80    40  1    40  2    

Общие затраты на перевозку всей продукции, для оптимального плана составляют: 

Pопт=540