Даны векторы а(1,3,7)b(1,2,8)с(2,-4,5)и d(7,11,12) в некотором декартовом базисе. Показать, что векторы a,b,с образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. - вопрос №2167100

Для проверки составляют ли они базис составим матрицу
　　　　1   3   7
A＝（ 1    2   8)     и вычислим её детерминант: |A| = 19 — не равен нулю, значит этот набор из 3-х векторов
         2   -4  5             линейно независим, а значит они могут составлять базис.
d = x*a + y*b + z*c и получим систему, попеременно приравнивая координаты:

x  +  y +  2z    = 7
3x+  2y -  4z   = 11 
7x + 8y +  5z = 12
Решая которую получим:
  1     1     2     7
   3     2    -4    11
   7     8     5    12

   1     1     2     7
     0    -1   -10   -10
     0     1    -9   -37

     1     1     2     7
     0     1    10    10
     0     0   -19   -47

     1     1     2     7
     0     1    10    10
     0     0    1    2.4737

        1          1         2    7
         0         1         0  -14.7368
         0         0         1    2.4737

         1    1         0    2.0526
         0    1         0  -14.7368
         0    0         1    2.4737

         1    0    0   16.7895
         0    1    0  -14.7368
         0    0    1    2.4737

x = 16.7895 ;    y = -14.7368 ;  z =   2.4737, т. о.
d = 16.7895*a   -14.7368 *b  +   2.4737*c