Исследовать функцию с помощью производной (x^3)/((x^2)-1). Построить график функции. - вопрос №2776067

1) Область определения функции. Точки разрыва функции. 2) Четность или нечетность функции. y(-x) = -y(x), нечетная функция 3) Периодичность функции. 4) Точки пересечения кривой с осями координат. Пересечение с осью 0Y x=0, y=0 Пересечение с осью 0X y=0 x = 0 5) Исследование на экстремум. y = (x^3)/((x^2)-1) Найдем точки разрыва функции. x1 = -1 x2 = 1 Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной. 1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. или Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю x2(x2-3) = 0 Откуда: x1 = 0 f'(x) > 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 f'(x) < 0 f'(x) > 0 функция возрастает функция убывает функция убывает функция убывает функция убывает функция возрастает В окрестности точки x = -sqrt(3) производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -sqrt(3) — точка максимума. В окрестности точки x = sqrt(3) производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = sqrt(3) — точка минимума. 2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. или Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. Откуда точки перегиба: x1 = 0 (-∞ ;-1) (-1; 0) (0; 1) (1; +∞) f''(x) < 0 f''(x) > 0 f''(x) < 0 f''(x) > 0 функция выпукла функция вогнута функция выпукла функция вогнута 6) Асимптоты кривой. Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: Находим коэффициент k: Находим коэффициент b: Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: x1 = -1 x2 = 1 Находим переделы в точке x=-1 x1 = -1 — точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. Находим переделы в точке x=1 x2 = 1 — точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.