Какой цифрой заканчивается сумма 2019^2019 + 2018^2018 ? - вопрос №2836234

Какой цифрой заканчивается сумма 2019^2019 + 2018^2018 ?

1)  Рассм. число 2019^2019:

Это число 2019 умножается само на себя 2019 раз, т.е.

 2019 ∙ 2019 ∙ 2019 ∙ ……∙ 2019
.____________________________.
                      2019 шт

  Последняя цифра 9 будет умножаться само на себя 2019 раз и в итоге определит последнюю цифру числа 2019^2019. Выясним, что это будет за цифра:

Степени 9^k оканчиваются на цифры: 1 и 9. Построим таблицу:

                                       Окончания 9^k|     1     |   9

Степень k, дающая данное окончание |      0   |   1

Степень k, дающая данное окончание |      2   |   3

Степень k, дающая данное окончание |      4   |   5

Степень k, дающая данное окончание |      6   |   7

                                                                   четн   | нечетн

Вывод: число 9^k оканчивается на ц. 1, если степень k– четная, и на ц. 9 – если нечетная. Т.к. степень 2019 – нечетн. число, число 2019^2019 оканчивается на цифру 9

2)  Рассм. число 2018^2018:

Это число 2018 умножается само на себя 2018 раз, т.е.

 2018 ∙ 2018 ∙ 2018 ∙ ……∙ 2018
.____________________________.
                       2018 шт

  Последняя цифра 8 будет умножаться само на себя 2018 раз и в итоге определит последнюю цифру числа 2018^2018. Выясним, что это будет за цифра:

Степени 8^k оканчиваются на цифры: 8, 4, 2 и 6. Построим таблицу:

                                       Окончания 9^k|      8    |   4   |     2    |   6

Степень k, дающая данное окончание |      1   |   2    |      3   |   4

Степень k, дающая данное окончание |      5   |   6    |      7   |   8

Степень k, дающая данное окончание |      9   |  10   |    11   |   12

Степень k, дающая данное окончание |      .    |   .     |      .    |       .

                                                                    4n-3   | 4n-2 | 4n-1   | 4n– общ. формула степени

Вывод: число 8^k оканчивается на ц. 8, если степень вида k=4n-3;  на ц. 4, если k=4n-2;  на ц. 2, если k=4n-1; на ц. 6, если k=4n. Определим, какого вида число 2018:

2018 = 2020 – 2 = 4∙505 – 2 = |n=505| = 4n– 2. Т.о. число 2018^2018 оканчивается на ц. 4

3)  Тогда сумма 2019^2019 + 2018^2018 оканчивается на ц. 3  (9 + 4 =13 => ц. 3)