Из точки О пересечения диагоналей квадрата ABCD к его плоскости восстановлен перпендикулярно ОК, точка F - середина отрезка DC.Найдите величину угла наклонной прямой FK к плоскости АКС, если - вопрос №2837495

1)  Проведем FM⊥ОС, тогда КМ является проекцией КF на плоскость АКС => ∠FKM– искомый угол наклонной FK к плоскости АКС

2)  АС – диагональ квадрата => AC = AD∙√2 = 4∙√2

3)  По усл. т. О – точка пересеч. диагоналей квадрата и т. F –  середина DC =>

            =>OF||AD и  OF = 1/2 AD = 1/2∙4 = 2

4)  Рассм. Δ OFC – прямоуг. (т.к. OF||AD⊥ВС):

OF = 2,  FC = 1/2 DC = 1/2∙4 = 2 => Δ OFC – равноб. => высота FM является медианой =>  

=>  OM = MC = 1/2∙OC = 1/2∙1/2∙ AC = 1/4∙4∙√2 = √2

5)  ΔOKF– прямоуг. по усл.

OK = OF = 2  =>  по т. Пифагора  KF = √(OK^2+ OF^2) = √(2^2+ 2^2) = 2∙√2

5)  ΔOKM – прямоуг. по усл.

OK = 2, OM = √2  =>  по т. Пифагора KM = √(OK^2+ OM^2) = √(2^2+ √2^2) = √6

6)  ΔOFM – прямоуг. по постр.

OF = 2, OM = √2  =>  по т. Пифагора FM = √(OF^2 – OM^2) = √(2^2 – √2^2) = √2

7)  Рассм. ΔKFM:  По т. косинусов имеем

 FM^2 = KM^2 + KF^2 – 2 ∙ KM∙ KF∙ cos∠FKM  =>
cos∠FKM = (KM^2 + KF^2 – FM^2)/(2 ∙ KM∙ KF) = (6 + 8 – 2)/( 2 √6 ∙ 2∙√2) = 12/(4 ∙ 2 ∙ √3) = √3/2

Т.о.  cos∠FKM = √3/2  =>  ∠FKM =π/3