1. Докажите «от противного», что если в 10 коробках 21 елочная игрушка, то хотя бы в одной коробке лежит не менее трех елочных игрушек. 2. Докажите «от противного», что, если отрезок, проведенный ч - вопрос №4283819

1. Предположим, что утверждение о том, что хотя бы в одной коробке лежит не менее трех игрушек, неверно, тогда в каждой коробке лежит не более двух елочных игрушек. Тогда всего в 10 коробках не более 10*2=20 игрушек, что противоречит условию о том, что в них лежит 21 игрушка. Таким образом, сделанное предположение о том, что доказываемое утверждение ложно, приводит к противоречию с условиями задачи, стало быть, это предположение неверно, то есть хотя бы в одной коробке лежит не менее трех игрушек, что и требовалось доказать.

2. Неприятность в том, что это утверждение неверно — такой отрезок вполне может НЕ быть средней линией треугольника. 

Возьмем середину одной из сторон за центр окружности радиуса, равного половине длины «третьей» стороны. Такая окружность может иметь более одной общей точки со «второй» стороной треугольника: одна из них будет серединой второй стороны, а вот вторая и делает утверждение неверным (нужно, чтобы «третья» сторона была короче «первой», чтобы вторая точка пересечения окружности и прямой, содержащей вторую сторону, была внутренней точкой «второй» стороны. 

Cо второй задачей имеется ввиду следующее:
1. Постороим равнобедренный треугольник АВС как на рисунке
2.Продлим сторону ВС вверх и вниз и отложим на ней вверху  где-либо точку D
3 Проведем линию DА и продолжим её дпльше вниз
4 Отложим на ней отрезок АЕ равный по длине DA
5 Из точки Е проведем прямую параллельную АС пока она не пересечется с DF в точке F
Что мы получили?
В большом треугольнике DFE из середины стороны DE проведены два одинаковых отрезка к DF- Один из них АС — действительно средняя линия треугольника (парвллельный основанию, проходит через середину стороны.  Так как он является средней линией, ир его длина равна половине EF.
Второй отрезок  AB=АС — поэтому тоже равен половине основания EF (по построению), но средней линией треуголтника уже не является. Значит хоть отрезок и равен по длине половине третьей стороны, он можнт или быть, или не быть средней линией треугольника.

Поэтому доказать то, что требуется в условии (что такой отрезок ВСЕГДА является средней линией) НЕВОЗМОЖНО. Это неверное утверждение.