При каких значениях параметра b уравнение имеет два различных решения? - вопрос №4334087

Так как x^2=|x|^2, то это квадратное относительно |x| уравнение.
Левая часть раскладывается на множители, получаем
(|x| — (3b-2))(|x| — b) = 0.
Отсюда 
|x|=3b-2 (*)
|x|=b (**).
Понятно, что только одно из уравнений (*) и (**) должно иметь положительную правую часть (случай совпадения правых частей рассмотрим отдельно), второе должно иметь отрицательную, в противном случае уравнение будет иметь НЕ два корня.

Итак:
1) 3b — 2 = b,
откуда b=1. В этом случае уравнение действительно имеет ровно два различных решения.
2) Очевидно, что при b<0 правая часть уравнения (**) отрицательна, но правая часть уравнения (*) тогда тоже отрицательна, тогда исходное уравнение просто не имеет корней.
3) Пусть b=0, тогда правая часть уравнения (**) нулевая, а правая часть уравнения (*) отрицательна, тогда исходное уравнение имеет только один корень.
4) Пусть b>0, тогда необходимо, чтобы 3b — 2 <0, то есть b<2/3.

Итак, объединяя ответы в случаях выше, получаем

0<b<2/3, b=1.

Альтернативным вариантом решения является следующий: если свободный член квадратного уравнения отрицателен, то уравнение всегда имеет действительные корни, причем разного знака. Тогда достаточно рассмотреть знак выражения (3b^2 — 2b), но так легко упустить случай двух положительных раВных корней (b=1) — просто забыть о том, что в этом случае требование условия о двух различных корнях тоже выполняется.
Естественно, получается такой же ответ, что в «основном» варианте решения.