При каких значениях параметра a уравнение x+2= a|x-1| имеет единственное решение? Найдите это решение. - вопрос №4335325

Перепишем уравнение в виде x = a|x-1| — 2

1. Левая часть уравнения — прямая с коэффициентом наклона 1, проходящая через точку (0; 0), это биссектриса первого и третьего квадрантов.
2. Правая часть уравнения зависит от а, но в общем случае это «галочка» модуля, проходящая через точку (1;-2). Состоит такая «галочка» из двух лучей, имеющих общее начало (1;-2).

Очевидно, нам нужно найти такие значения параметра, при котором один из лучей имеет пересечение с прямой, а второй — нет.

Понятно, что если параметр бесконечно большой, то оба луча смотрят вертикально вверх, если он бесконечно мал (стремится в минус бесконечность) — то они смотрят вертикально вниз, если он равен 0, то они оба горизонтальны. Теперь примерно понятно, как ведут себя лучи при изменении параметра а — при положительных а они смотрят вверх, левый луч тогда всегда пересекает прямую y=x, а вот правый будет пересекать ее только в том случае, если угловой коэффициент а больше 1 (угловой коэффициент прямой y=x равен 1). Таким образом, при положительных а до значения а=1 будет именно одно решение, как нам и требуется, причем это решение будет в области x<1.

Теперь рассмотрим отрицательные значения а. Правый луч уходит направо вниз, то есть он никогда не будет иметь общих точек с прямой y=x, а левый будет иметь точку пересечения в том случае, пока а>-1 — при a=-1 он оказывается параллелен этой прямой.

Что важно — что корень опять-таки лежит в области x<1.

Итак, одно решение будет при -1 < a <=1. Теперь найдем само решение. Как мы отмечали, единственное решение лежит только в области x<1, поэтому |x-1|=1-x, то есть уравнение приобретает вид

x + 2 = a(1-x), 

x(1+a)= a — 2

x = (a-2)/(a+1) при -1 < a <=1