Конус с углом β при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R. Найдите угол β, если R=2r. Если возможно несколько вариантов ответа, укажите наибольший из них. - вопрос №4469598

Задача простая, но в ней есть подлянка, на которую намекает фраза про «несколько вариантов ответа».

Построим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с углом Beta при вершине, основанием 2r и радиусом описанной окружности R. Известно, что R=2r. Предлагается найти Beta.

Рассмотрим треугольник с вершиной в центре описанной окружности треугольника-сечения и основанием в виде основания этого треугольника. Две из его сторон являются радиусами описанной окружности, то есть равны R, а третья равна 2r=R по условию, то есть он равносторонний. Дальше все ясно — все углы этого треугольника по 60 градусов, угол Beta равен половине центрального угла, то есть… стоп! Угол Beta может быть тупым, тогда этот наш правильный треугольник лежит вне треугольника-сечения.  В этом случае Beta будет не 60/2 градусов, а 180 — 60/2 градусов = 150 градусов, и это будет наибольшим возможным ответом.

Ответ: 150 градусов.