биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что луч АО – биссектриса угла ВАС. - вопрос №5485170

Для доказательства того, что луч AO является биссектрисой угла ∠BAS, можно воспользоваться свойством подобных треугольников.

Из условия задачи мы знаем, что точка O — точка пересечения внешних биссектрис углов при вершинах B иC.

Посмотрим на треугольники 𝐴𝐵𝐷ABD и 𝐴𝐸𝐶AEC. Они подобны, так как у них соответствующие углы равны (∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐶∠ADB=∠AEC, ∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶∠DAB=∠EAC) и у них общий угол ∠A.

Следовательно, отношения длин соответствующих сторон этих треугольников равны. Но так как AD и AE — это отрезки внешних биссектрис углов B и C, соответственно, отношения их длин к соответствующим сторонам треугольника ABC также равны.

Так как луч AO пересекает отрезки BD и CE в точке O, и эти отрезки пропорциональны соответствующим сторонам треугольника ABC, то лучAO делит угол BAC на две равные части, что и означает, что он является биссектрисой угла BAS.