математика - вопрос №58096

Пусть x — чило машин, y — число мотоциклов.

Рассмотрим крайние случаи -1) на стоянке только 4-х колёсные машины. Ответ — 100/4 =25 машин, 0 мотоциклов.

2) только 3-х колёсные мотоциклы — 100/3 = 33 мотоцикла и одно лишнее колесо.

Теперь заметим, что убрав одну машину (4 колеса) или 2е (8 колёс) никоим образом нельзя восстановить добавлением мотоциклов прежнее число колёс. А вот три машины в точности эквивалентны четырём мотоциклам по числу колёс.

Поэтому все ответы составляют множество {(25,0), (22, 4), (19,8), (16,12), (13,16), (10,20), (7,24), (4,28), (1,32)}.

В общем виде решение выглядит так { ( 1+3k, 32-4k ), k=0,..8 }. 

Полезно изобразить множество на клетчатой бумаге в координатах (x, y).

Если прямая y=33*(1-*x/25) проходит через пересечение линий, то есть целочисленное решение (на рисунке обведено кружком) .

Ссылка на рисунок http://forum-psn.ru/myshare/?dl=3388cd75527135d48c27440eb45c0ac7

Отметьте, пожалуйста, мой ответ как лучший. Спасибо.

Если x число машин, а y — число мотоциклов, то 4x+3y=100 и нужно найти натуральные (включая и 0) решения. Сразу видно, что если мотоциклов нет на стоянке (y=0), то машин есть 25. Число машин не может равняться нулю, так как 3y=100 не имеет целочисленных решений. Разделив обе части нашего уравнения на 4 получим, что x+3y/4=25, откуда 3y/4=25-x — натуральное. Легко видеть, что при y=4 получим x=22 — одно решение. Запишем систему 4x+3y=100 и 4*22+3*4=100. Вычтем из первого уравнения второе: 4(x-22)+3(y-4)=0. Пусть x-22=m, а y-4=n. Тогда 4*m=-3*n. Числа m и n — целые. Поэтому m=3k, а n=-4k. Теперь получается: 4(x-22)=-3n=12k, откуда x=22+3k. Точно так же y=4-4k. Легко видеть из первого уравнения, что k<=1, а из второго, что 22+3k<=25, откуда, k>=-7 и оно целое. Итак беря k: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1 получим все решения (x, y).  Для уверенности можно, конечно проверить, все ли k дают решения, но это уже — конечный простой перебор.

Математик ответ получил бы более коротким путем, основываясь на свойствах целых чисел. В частности, рассматривая уравнение 4x+3y=100, сразу видно, что второе неизвестное должно делиться на 4, т.е. y=3k. Следовательно, уравнение должно иметь вид: x+3k=25. Это обычная операция в решении линейных диофантовых уравнений, связанная с исключением общих множителей из коэффициентов и свободного члена. По условию 0<=x=25-3k<=0  =>  0<=k<=8. В итоге общее решение 

x=25-3k

y=3k, 0<=k<=8