Решить задачу Коши - вопрос №58306

Это линейное дифференциальное уравнение. Запишем его в виде y'+4xy/(x^2+1)=3/(x^2+1). Решение ищем в виде: y=u(x)v(x), откуда y' =u'v+uv'. После подстановки в уравнение получим: v(u' + 4xu/(x^2+1))+uv' =3/(x^2+1). Выбираем функцию u так, чтобы  u' + 4xu/(x^2+1)=0. Отсюда определяем функцию u(x).

интеграл(udu/u)=-интеграл(4xdx/(x^2+1)). Получим lnu=-2ln(x^2+1), откуда находим u=1/(x^2+1)^2. Теперь используя это получим v'/(x^2+1)^2=3/(x^2+1). Отсюда следует v' =3(x^2+1), а теперь найдем v(x): v = 3*интеграл((x^2+1)dx)=3(x^3/3+x)+C. Постоянную C найдем из условия Коши, если предварительно запишем функцию y(x)=uv=(3(x^3/3+x)+C)/(x^2+1)^2. Теперь подставим вместо y 0 и вместо x  0. 0=С/1=C. 

Ответ: y = (x^3+3x)/(x^2+1)^2