функции - вопрос №115084

Здравствуйте, Олеся!

«Милого узнала по походке» — сказали бы Вы. Но я не раскрываю секрета, как Вас вычислил. Все прощаю, обращайтесь в чат, если Вы в действительности хотите понять названную Вами тему.

Общий (и самый «топорный») алгоритм, работающий для всех функций, таков:

1) Находим производную функции
2) Находим стационарные точки (приравниваем производную к 0)
3) Если стационарные точки попадают на отрезок, то вычисляем значения функции в этих точках
4) Находим значения функции на концах отрезка
5) Располагаем в порядке возрастания все полученные значения из п. 3 и 4. Первое будет наименьшим значением, последнее — наибольшим.

Где-то так.

      Максим, почему Вы называете этот общий алгоритм «самым топорным»? По-моему, здесь Вы всё четко и точно указали (а какой есть более простой, элегантный, эффективный… интересно?).

      Но если честно, первый ответ, от В.Чепурных, мне больше нравится!  :-)))

Александр,

я всего лишь имел в виду, что алгоритм не до конца расписан в том плане, что в ряде случаев можно избежать вычислений с точками внутри отрезка (как в 1-м «примере» автора вопроса, где точно известно, что функция убывающая).

По поводу ответа Владимира — мне он тоже нравится :-) 

         Максим! Алгоритм Вы расписали, по-моему, фактически полностью и до конца. А в примере, где "точно известно, что функция убывающая" это становится действительно «точно известным», если строго (и не только Вам :-)), лишь после вычисления производной (пункт 1 Вашего алгоритма) и последующей постановки вопроса о возможности обращения производной в ноль (пункт 2).

         И только после этого мы находим множество (в данном случае — пустое) стационарных точек и переходим к следующему пункту этого общего порядка действий.

         Наверное, здесь лучше говорить не о том, расписан ли алгоритм до конца, а то, что он допускает ряд частных случаев, некоторые из которых могут приводить к определенным упрощениям общей процедуры. Но ведь это настолько естественно вообще для перехода от общего к частному! И свидетельствует не о «топорности» общего подхода, а, скорей, наоборот — о его универсальности и адаптируемости к различным условиям (задачам)!

         Впрочем, возможно, всё это «дело вкуса» (терминологического), но в любом случае польза от четко изложенной Вами общей процедуры решения этих задач несомненна.

     Включаясь в дискуссию, смею заметить (не экспертам, а уважаемой Олесе), что упомянутый выше «топорный» метод работает только для всюду непрерывно  дифференцируемых в заданной области функций. Например, всем известная функция y={x} на отрезке [1/2,3/2] всюду возрастающая и имеет производную. Причем имеет одинаковый предел отношения при вычислении производной как слева, так и справа во всех точках. Но максимума не имеет, хотя и ограничена сверху. Более того, при x->1 слева имеет предел lim y=1, но его не достигает. Поэтому, особенно в задачах ЕГЭ, такой подвох может встретиться, даже в такой простой задаче как вычисление максимума функции.