5^n+2*3^n+5 как делить на 8 - вопрос №1292079

Воспользуемся методом математической индукции.
Для n = 1 получаем 5 + 2*3 + 5 = 16 = 2*8 — делится на 8

Предположим, что выражение делится на 8 при n = k.
Проверим, делится ли оно на 8 при n = k + 1:
5^(k + 1) + 2*3^(k+1) + 5 = 5*5^k + 2*3*3^k + 5 = 5(5^k+ 2*3^k + 5) -4*3^k -20
или 5(5^k+ 2*3^k + 5) -4(3^k +5)

Первое слагаемое представляет собой произведение 5 на скобку, которая по предположению выше,
делится на 8. Второе отрицательное слагаемое представляет собой произведение 4 на скобку.
Внутри скобки число всегда чётное, так как 3 в любой степени — число нечётное и 5 число нечётное, а сумма двух нечётных чисел — число чётное. Поэтому это слагаемое делится на 4 и на 2, т.е. на 8.
Т.е. и вся сумма делится на 8. Таким образом, из предположения, что при n = k выражение делится на 8 следует, что и при n = k + 1 это выражение также делится на 8.

Что и требовалось доказать.