Найти общее решение дифференциального уравнения - вопрос №292176

k^2-4k+8=0

D=4-8=-4=(2i)^2

k1=2+2i

k2=2-2i

Общее решение однородного уравнения

У=e^(2x) (C1*cos 2x +C2*sin 2x)

y=e^x(Asinx+Bcosx)

y'=e^x (Asinx+Bcosx) + e^x(Acosx-Bsinx)=e^x((A-B)sinx+(B+A)cosx)

y''=  e^x((A-B)sinx+(B+A)cosx) +  e^x((A-B)cosx-(B+A)sinx) =

 = e^x((A-B-B-A)sinx+(B+A+A-B)cosx)  =  e^x(-2Bsinx+2Acosx) 

 e^x(-2Bsinx+2Acosx) -4* e^x((A-B)sinx+(B+A)cosx)+8* e^x(Asinx+Bcosx)=

 =e^x(3sinx+5cosx)

(-2B-4A+4B+8A) sinx +(2A-4B-4A+8B)cosx=  3sinx+5cosx

2B+4A=3

4B-2A=5

----------

2B=3-4A

6-8A-2A=5

-10A=-1

A=1/10=0,1 

B=(3-4/10)/2=1,3

 y=e^x(0,1*sinx+1,3*cosx) 

Ответ

 e^(2x) (C1*cos 2x +C2*sin 2x) +  e^x(0,1*sinx+1,3*cosx)

Буду благодарна, если отметите