частные производные 1 порядка - вопрос №141221

           Для функции нескольких переменных

                           y = f(x1, x2, …, xn)

её частные производные

                          ∂f/∂x1, ∂f/∂x2, … , ∂f/∂xn

– это «практически» обычные производные функции одной переменной, когда при дифференцировании функции  f(x1, x2, …, xn)  по той или иной из её независимых переменных  xi  (i=1, 2, …, n) все остальные переменные (кроме данной  xi) считаются не переменными, а константами (и тогда, в частности, отметим, – производные по ним равны нулю).

           Т.е. при нахождении частной производной  ∂f/∂xi  исходная функция  f(x1, x2, …, xn)  многих (n)  переменных превращается, по сути, в обычную функцию одной переменной  –  xi  (все остальные (кроме  xi) независимые переменные функции  f  рассматриваются как параметры).

          Поэтому, в частности, для рассматриваемой задачи – функции двух переменных:

                                               z = cos(x3 – 2xy)

при нахождении частной производной по переменной x  (∂z/∂x) вторая переменная, y, рассматривается как параметр (константа), и тогда дифференцируем исходную функцию – как функцию одной переменной x:

         ∂z/∂x = [cos(x3– 2xy)]'x=

                     = [-sin(x3– 2xy)]·(3x2– 2y) = (2y— 3x2)·sin(x3– 2xy)

         Аналогично, при нахождении частной производной по переменной  y  (∂z/∂y) теперь уже первая переменная, x, рассматривается как параметр (константа), и тогда дифференцируем исходную функцию – как функцию одной переменной y:

                    ∂z/∂y = [cos(x3 – 2xy)]'y =

                                = [-sin(x3 – 2xy)]·(0 – 2x) = 2x·sin(x3 – 2xy)