Решите уравнение: - вопрос №5108320

ctg(x/5-pi/10) ≤ √3/3
Умножим обе части на -1, чтобы с неравенством было проще работать: -
ctg(x/5-pi/10) ≥ -√3/3
Напомним, что ctg(x) = 1/tan(x), поэтому:

-tan(x/5-pi/10) ≥ -√3/3 Теперь возьмем арктангенс обеих сторон: x/5 — пи/10 ≤ -пи/3 + к*пи где k — любое целое число Умножая все на 5: х — пи/2 ≤ -5пи/3 + 5кпи х ≤ -5pi/3 + 5kpi + pi/2 х ≤ -5*пи/3 + (10k+1)*пи/2

Итак, решение: х ≤ -5*пи/3 + (10k+1)*пи/2 1/2 < потому что х < √2/2

Найдем решения в интервале [0, 2π), тогда к каждому решению можно добавить 2kπ, чтобы получить все решения. cos x положителен в первом и четвертом квадрантах, поэтому нам нужно найти, где cos x находится между -1/2 и √2/2 в этих квадрантах.
В первом квадранте:

0 < x < π/4 и cos x > √2/2

В четвертом квадранте:

7π/4 < x < 2π и cos x > √2/2

Таким образом, решения в интервале [0, 2π) таковы:

0 < x < π/4 или 7π/4 < x < 2π

Добавляя 2kπ к каждому решению, общее решение:

x = 2kπ + θ или x = 2kπ + (7π/4 + θ), где 0 < θ < π/4 | тг(х) | ≥ √3

Рассмотрим случаи, когда tg(x) положительна и когда она отрицательна. Когда tg(x) положителен, неравенство принимает вид:
tg(x) ≥ √3 x ≥ π/3 + kπ, где k — любое целое число Когда tg(x) отрицательно, неравенство принимает вид: -тг(х) ≥ √3 tg(x) ≤ -√3 x ≤ -π/3 + kπ, где k — любое целое число Собрав их вместе, общее решение: x ≥ π/3 + kπ или x ≤ -π/3 + kπ, где k — любое целое число