олимпиада - вопрос №143371

х = -2008

           Елена, ответ, конечно, Вам дали верный, но в подобных задачах главное не ответ (нередко, как здесь, он очевиден), а собственно решение – выяснение вопроса и доказательство единственности предложенного ответа.

         Кроме того, у Вас ведь написано «Решите с помощью целых чисел...», а не «Решите в целых числах...». Это две существенно различные задачи («с помощью» – означает ровно то что написано, т.е. это лишь подсказка для поиска решения). Поэтому надо еще проверить, нет ли еще решений не в целых, а в вещественных числах этого уравнения.

         Изначально, глядя на условие, всё предельно понятно — произведение трех чисел, отличающихся последовательно друг от друга на единицу, равно 24. Сразу и напрашивается ответ:  2·3·4  (и, видимо, в условии слова «с помощью» и написали для тех, кто сразу не увидит это целое решение).

         А вот дальше самое главное — необходимо провести исследование, могут ли быть другие решения?

         Для удобства перепишем исходное уравнение

                           (х+2010)(х+2011)(х+2012) = 24                                 (1)

в виде (замена переменной x+2011=y):

                                     (y-1)y(y+1) = 24                                            (2)

         Один его очевидный корень  y1=3. Докажем теперь, что других решений нет (не привлекая, поскольку это школьная задача, аппарат производных – тогда бы это решалось совсем быстро).

          Может ли быть решение  y>3?   Нет – потому что, если повышать значение  y  выше корня  y1=3, то в левой части уравнения (2) каждый из сомножителей начнет расти, увеличивается и произведение (становясь заведомо выше, чем 24). Поэтому значений  y>3, удовлетворяющих исходному уравнению (2), нет.

         Если теперь наоборот – понижать переменную  y  ниже корня  y1=3 – сначала аналогично начнет монотонно уменьшаться каждый из сомножителей; монотонно начнет уменьшаться и произведение. Эта монотонность нарушается лишь внутри интервала  (-1, 1)  для  y, но там  произведение  (y-1)y(y+1), очевидно, меньше значения 24.

         Ну а при еще более низких значениях  y  произведение  (y-1)y(y+1) становится вообще отрицательным и продолжает (с дальнейшим уменьшением y) уменьшаться.

         Тем самым, доказано отсутствие других вещественных (не обязательно целых!) корней исходного уравнения.

         Отметим, что доказать это можно было и по-другому (не считая способа с привлечением производных как средства оценивания возрастания-убывания функции) так.

         Поскольку известен очевидный корень  y1=3  исходного уравнения:

                                  (y-1)y(y+1) – 24 = 0 ,                                        (3)

то это означает, что левая часть (3), т.е. выражение

          (y-1)y(y+1) – 24 = y[(y-1)(y+1)] = y[y2-1] – 24 = y3 – y – 24

делится на  y-3. Произведя это деление (обычным, «школьным» способом – как деление многочлена на многочлен), получаем разложение исходного уравнения (3):

              (y-1)y(y+1) – 24 = y3 – y – 24 = (y–3)(y2+3y+8) = 0              (4)

            А это уравнение (4) никаких других вещественных корней, кроме y1=3 (полученного ранее), очевидно, не имеет (дискриминант квадратичного сомножителя (4)  y2+3y+8  отрицателен).

         Вот теперь действительно (если, конечно, я нигде не ошибся) доказано (несколькими способами), что никаких других корней кроме значения  y1=3  уравнение (4) (как и эквивалентные ему уравнения (1)-(3)) не имеет.  При этом не имеет не только в области целых чисел, но в области любых вещественных чисел.

         Ну а значению  y1=3  соответствует, понятно, представленный выше верный ответ  x=y-2011=-2008  (автор которого, Олег Волков, тоже, надеюсь, на меня не в обиде  :-)).